Tananyagok Vásárlás Vélemények Írásaink
Belépés
Tananyagok
Vásárlás
Vélemények
Írásaink
Gyakran Ismétlődő Kérdések
Kérdezz-Felelek
Belépés
Regisztráció
.
Add meg a neved
IsmeretlenCCBot/2.0 (https://commoncrawl.org/faq/)
ID Profil

Rendeléseim
Jogosultságaim
Dicsőségfal

Kilépés
Kilépés

Kérdezz-Felelek Válaszok

Kérdés

Kedves Matek Oázis!
Oszthatóság témakörben a kilencedikes fiam kapott több ehhez hasonló feladatot:

Bizonyítsd be, hogy 1956 a 2010-ediken meg a az 1982 az 1982-diken osztható 10-zel.

Nem találtunk hasonló feladatot a videók között, sem az oszthatóságnál, sem a hatványozás témakörben. Tudnának segíteni?
Köszönettel,
Györgyi

Válasz

Kedves Györgyi!

Azért nem találkozott hasonló feladattal az anyagaink között, mert ez nem középszintű feladat, hanem nehezebb, inkább egy versenyfeladat.

Tehát azt kell bizonyítani, hogy
195620102 + 19821982 összeg osztható 10-zel.

Összeg esetén a maradékok összeadódnak.

Az első tag utolsó számjegye a 6. Ha az eredeti számot összeszorozzuk önmagával, akkor az utolsó számjegy a 6 · 6 = 36 miatt a 6 lesz. Akárhányszor szorozzuk még meg önmagával, az utolsó számjegy mindenképpen 6 lesz, tehát ez a szám, 10-zel osztva 6 maradékot ad.

Nézzük a második tagot. Itt az utolsó számjegy 2, amikor a számot összeszorozzuk önmagával, akkor az utolsó számjegyek mindig a 2 hatványainak utolsó számjegyei lesznek: 2, 4, 8, 6 (16), 2 (32), 4 (64), ..... és így tovább, ezek ismétlődnek a szám végén, 2,4,8,6, aztán megint 2,4,8,6, és megint... Tehát minden negyedik hatványa az 1982-nek 6-ra fog végződni. Ezért az 1982-nek az 1980. hatványa (mert az 1980 osztható 4-gyel) 6-ra fog végződni. A következő, az 1981. hatványa 2-re, aztán az 1982. hatványa 4-re. Ezért ez 10-zel osztva 4 maradékot ad.

Tehát azt kaptuk, hogy egy szám 10-zel osztva 6 maradékot ad, és hozzáadunk egy másik számot, ami 10-zel osztva 4 maradékot ad. Ekkor az összeg 6+4 = 10 maradékot fog adni 10-zel osztva. De ez pontosan azt jelenti, hogy osztható 10-zel, hiszen 10 nem lehet a maradék, mert akkor abban már megvan még egyszer.

Így leírva talán bonyolultnak tűnik, de érdemes kipróbálni írásban a szorzásokat, 1956 · 1956 és 1982 · 1982, esetleg még néhányszor összeszorozni, és akkor biztos észreveszik az utolsó számjegyekre vonatkozó összefüggéseket.
A témával kacsolatos további segítséghez katt ide