Tananyagok Vásárlás Vélemények Írásaink
Regisztráció Belépés
Tananyagok Vásárlás Vélemények Írásaink Gyakran Ismétlődő Kérdések Kérdezz-Felelek Kapcsolat
Belépés Regisztráció

Kérdezz-Felelek Válaszok

Kérdés

Ezt hogy kell megoldani? 1 + sin2x = sinx + cosx

Válasz

Ez egy trigonometrikus egyenlet, amelynek megoldásához néhány trigonometrikus azonosságot kell alkalmazni. Azonosságok: 1.) 1 = sin^2(x) + cos^2(x)
2.) sin2x = 2sinxcosx
Az egyenlet megoldása:

1 + sin2x = sinx + cosx /Beírjuk az 1.) azonosságot az 1 helyére
sin^2(x) + cos^2(x) + sin2x = sinx + cosx /Beírjuk a 2.) azonosságot sin2x-re
sin^2x + cos^2x + 2sinxcosx = sinx + cosx

Az egyenlet bal oldala rövidebben két tag négyzeteként írható fel:
sin^2x + 2sinxcosx + cos^2x = (sinx + cosx)^2

(sinx + cosx)^2 = sinx + cos x
(sinx + cosx) (sinx + cosx) = sinx + cos x
Ez az egyenlőség pedig akkor teljesül, ha a sinx + cos x = 1 vagy 0
(ha ugyanis az összeg 0, akkor teljesül az egyenlőség, ha nem 0, akkor oszthatunk vele, és akkor azt kapjuk, hogy sinx + cos x = 1)

1. eset: sinx+cosx=1 , emeljünk négyzetre!:
sin^2x + 2sinxcosx + cos^2x = 1 / (1 helyére beírjuk az 1.) azonosságot)
sin^2x + 2sinxcosx + cos^2x = sin^2x + cos^2x / - cos^2x; -sin^2x
2sinxcosx = 0 / : 2
sinxcosx = 0

Ez pedig csak akkor teljesül, ha sinx = 0 vagy cosx = 0
ebből x = pi/2 + 2kpi ebből x = k pi

2. eset: sinx + cosx = 0
sinx = -cosx feltehetjük, h. cosx nem 0 (mert előbb már láttuk, hogy ez megoldás), osszunk vele:
sinx/cosx = -1, vagyis tgx = -1, ebből x = 3/4 pi + k pi